Untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang memerlukan penggunaan matematika, maka langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyusun model matematika dari masalah tersebut. Data yang terdapat dalam permasalahan itu diterjemahkan ke dalam satu atau beberapa PLDV. Selanjutnya penyelesaian dari SPLDV digunakan untuk memecahkan permasalahan tersebut.
Permasalahan-permasalahan tersebut bias mengenai angka dan bilangan, umur, uang, investasi dan bisnis , ukuran, sembako,gerakan dan lain-lain.
Membuat model matematika dari masalah sehari-hari
Contoh soal:
Dalam suatu hari seorang pedagang berhasil menjual sandal dan sepatu sebanyak 12 pasang. Uang yang diperoleh hasil dari penjualan adalah Rp. 300.000,-. Jika harga sepasang sandal Rp. 20.000,- dan harga sepasang sepatu Rp. 40.000,-tentukanlah model matematikanya!
Jawab
Misalkan, banyak sandal yang terjual = x pasang
Banyak sepatu yang terjual = y pasang
Persamaan pertama : x + y =12
Persamaan kedua : 20.000x + 40.000 = 300.000 (kedua ruas dibagi 10.000)
2x + 4y = 30
Jadi model matematika adalah x + y = 12 dan 2x + 4y = 30
Contoh soal :
- Dua tahun yang lalu seorang laki-laki umurnya 6 kali umur anaknya. 18 tahun kemudian umurnya akan menjadi dua kali umur anaknya. Carilah umur mereka sekarang!
Misalkan umur ayah sekarang x tahun dan umur anaknya y tahun, maka
x – 2 = 6( y – 2 )
x – 6y = -10………… (1)
x + 18 = 2(y + 18 )
x – 2y = 18 ………… (2)
dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
x – 6y = -10
x – 2y = 18 –
-4y = – 28
y = 7
subtitusikan nilai y = 7 ke dalam persaman x – 2y = 18, maka diperoleh
x – 2(7) = 18
x – 14 =18
x = 32
jadi, sekarang umur ayah 32 tahun dan anaknya berumur 7 tahun.
- Keliling sebidang tanah yang berbentuk persegi panjang adalah 48 m. panjangnya lebih 6 meter dari lebarnya. Tentukan ukuran tanah itu!
Misalnya panjang dan lebar tanah itu adalah x m dan y m.
Keliling = 2( panjang + lebar)
48 = 2(x + y) atau x + y = 24 ……….(1)
x = y + 6 atau x – y = 6 ……….(2)
dari persamaan (1) dan (2) dapat diperoleh
x + y = 24
x – y = 6 –
2x = 30
x = 15
subtitusikan x = 15 ke dalam persamaan x + y = 24, sehingga diperoleh
15 + y = 24
y = 24 – 15
y = 9
jadi, ukuran tanah itu adalah 15 m x 9 m.
- Harga sebuah buku dan sebuah pensil RP 5.500,- harga 2 buku dan 3 buah pensil RP 12.500,-.
- Nyatakan kalimat diatas dalam bentuk persamaan dengan peubah x dan y!
- Selesaikan persamaan itu!
- Tentukan harga 4 buah buku dan 3 buah pensil!
- Misalkan harga sebuah buku = x,rupiah
Maka persamaan dalam x dan y adalah
x + y = 5.500 …..(1)
2x + 3y = 12.500 …..(2)
- Menyelesaikan persamaan diatas dengan disubtitusikan
x = 5.500 – y
subtitusikan x = 5.500 – y ke persamaan 2
untuk x = 5.500 – y → maka 2x + 3y = 12.500
2(5.500 – y) + 3y = 12.500
11.000 – 2y + 3y = 12.500
11.000 + y = 12.500
y = 12.500-11.000
y = 1.500
subtitusikan y = 1.500 ke persamaan x = 5.500 – y
x = 5.500 – 1.500
x = 4.000
jadi nilai x dan y adalah Rp. 4.000 dan Rp. 1.500
- Harga 4 buah buku dan 3 buah pensil
= 4(Rp.4.000,-) + 3(Rp. 1.500,-)
= Rp. 16.000,- + Rp. 4.500,-
= Rp. 20.500,-
Jadi, harga 4 buah buku dan 3 buah pensil adalah Rp. 20.500,-
- A. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
ax + by = c
dimana = x dan y adalah variabel
- B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
ax + by = c
px + qy = d
dimana: x dan y disebut variabel
a, b, p dan q disebut koefisien
c dan r disebut konstanta
- C. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
- 1. Metode Eliminasi
Contoh:
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
2x + 3y = 6 dan x – y = 3
Langkah I (eliminasi variabel y)
Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien y harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan
x – y = 3 dikalikan 3.
2x + 3y = 6 × 1 2x + 3y = 6
x – y = 3 × 3 3x – 3y = 9
5x = 15
x = 15/5
x = 3
Langkah II (eliminasi variabel x)
Seperti langkah I, untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persamaan 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan
x – y = 3 dikalikan 2.
2x + 3y = 6 ×1 2x + 3y = 6
x – y = 3 ×2 2x – 2y = 6
5y = 0
y = 0/5
y = 0
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.
- 2. Metode Substitusi
Contoh:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x +3y = 6 dan x – y = 3 !
Penyelesaian:
Persamaan x – y = 3 ekuivalen dengan x = y + 3. Dengan menyubstitusi persamaan x = y + 3 ke persamaan 2x + 3y = 6 diperoleh sebagai berikut:
2x + 3y = 6
<=> 2 (y + 3) + 3y = 6
<=> 2y + 6 + 3y = 6
<=> 5y + 6 = 6
<=> 5y + 6 – 6 = 6 – 6
<=> 5y = 0
<=> y = 0
Selanjutnya untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y ke persamaan x = y + 3, sehingga diperoleh:
x = y + 3
<=> x = 0 + 3
<=> x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(3,0)}
- 3. Metode Gabungan
Contoh:
Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !
Penyelesaian:
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh.
2x – 5y = 2 ×1 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 2x +10y = 12
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
x + 5y = 6
<=> x + 5 (2/3) = 6
<=> x + 10/15 = 6
<=> x = 6 – 10/15
<=> x = 22/3
Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(2 2/3,2/3)}
PERSAMAAN LINIER 3 VARIABEL
Persamaan Linier 3 variabel Metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier
Paling sedikit ada lima cara. yaitu
• Eliminasi
• Substitusi
• Grafik
Paling sedikit ada lima cara. yaitu
• Eliminasi
• Substitusi
• Grafik
Sebagai contoh, marilah kita coba untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan tiga variabel berikut ini
x + y − z = 1 (1)
8x + 3y − 6z = 1 (2)
−4x − y + 3z = 1 (3)
x + y − z = 1 (1)
8x + 3y − 6z = 1 (2)
−4x − y + 3z = 1 (3)
- 4 Metode eliminasi
Pertama-tama, lihat persamaan-persamaan yang ada dan coba cari dua persamaan yang mempunyai koefisien yang sama (baik positif maupun negatif) untuk variabel yang sama. Misalnya, lihat persamaan (1) dan (3). Koefisien untuk y adalah 1 dan -1 untuk masing-masing persamaan. Kita dapat menjumlah kedua persamaan ini untuk menghilangkan y dan kita mendapatkan persamaan (4).
x + y − z = 1 (1)
−4x − y + 3z = 1 (3)
————————- +
−3x + 2z = 2 (4)
Perhatikan bahwa persamaan (4) terdiri atas variabel x dan z. Sekarang kita perlu persamaan lain yang terdiri atas variabel yang sama dengan persamaan (4). Untuk mendapatkan persamaan ini, kita akan menghilangkan y dari persamaan (1) dan (2). Dalam persamaan (1) dan (2), koefisien untuk y adalah 1 dan 3 masing-masing. Untuk menghilangkan y, kita kalikan persamaan (1) dengan 3 lalu mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1).
x + y − z = 1 (1) × 3 3x + 3y − 3z = 3 (1)
8x + 3y − 6z = 1 (2) 8x + 3y − 6z = 1 (2)
————————- –
−5x + 3z = 2 (5)
Dengan persamaan (4) dan (5), mari kita coba untuk menghilangkan z.
−3x + 2z = 2 (4) × 3 −9x + 6z = 6 (4)
−5x + 3z = 2 (5) × 2 −10x + 6z = 4 (5)
————————- −
x = 2 (6)
Dari persamaan (6) kita dapatkan x = 2. Sekarang kita bisa subtitusikan (masukkan) nilai dari x ke persamaan (4) untuk mendapatkan nilai z.
−3(2) + 2z = 2 (4)
−6 + 2z = 2
2z = 8
z = 8 ÷ 2
z = 4
Akhirnya, kita substitusikan (masukkan) nilai dari z ke persamaan (1) untuk mendapatkan y.
2 + y − 4 = 1 (1)
y = 1 − 2 + 4
y = 3
Jadi solusi sistem persamaan linier di atas adalah x = 2, y = 3, z = 4.
- 5 Metode substitusi
x = 1 − y + z (1)
Sekarang kita substitusi x ke persamaan (2).
8(1 − y + z) + 3y − 6z = 1 (2)
8 − 8y + 8z + 3y − 6z = 1
−5y + 2z = 1 − 8
−5y + 2z = −7 (4)
Dengan cara yang sama seperti di atas, substitusi x ke persamaan (3).
−4(1 − y + z) − y+ 3z = 1 (3)
−4 + 4y − 4z − y+ 3z = 1
3y − z = 1 + 4
3y − z = 5 (5)
Sekarang kita atur persamaan (5) supaya hanya ada 1 variabel di sebelah kiri.
z = 3y − 5 (6)
Kemudian, substitusi nilai dari z ke persamaan (4).
−5y + 2(3y − 5) = −7 (4)
−5y + 6y − 10 = −7
y = −7 + 10
y = 3
Sekarang kita sudah tahu nilai dari y, kita dapat masukkan nilai ini ke persamaan (6) untuk mencari z.
z = 3(3) − 5 (6)
z = 9 − 5
z = 4
Akhirnya, kita substitusikan nilai dari y dan z ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai x.
x = 1 − 3 + 4 (1)
x = 2
Jadi, kita telah menemukan solusi untuk sistem persamaan linier di atas: x = 2, y = 3, z = 4. Metode grafik
Penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode grafik dilakukan dengan cara menggambar garis garis atau bidang planar yang merupakan representasi dari persamaan-persamaan yang ada dalam sistem tersebut. Solusinya adalah koordinat-koordinat yang merupakan titik potong dari garis-garis ataupun bidang-bidang planar itu.
Sebagai contoh, marilah kita lihat sistem persamaan liniear dengan dua variabel berikut ini.
x + y = 3 (1)
2x − y = −3 (2)
Gambar kedua garis dari persamaan-persamaan di atas
Seperti terlihat pada grafik di atas, kedua garis itu bertemu (mempunyai
titik potong) pada titik (0,3). Ini adalah solusi dari sistem persamaan
linier tersebut, yaitu x = 0, y = 3.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.
Untuk persamaan linier dengan tiga variabel, solusinya adalah titik pertemuan dari tiga bidang planar dari masing-masing persamaan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar